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Vorweg: Laut meinem Stromlaufplan für den A3 war da nie ein Pin 10+11 (Ladeleitung) vorgesehen. Lediglich Pin 9 + 13 (Dauerspannung) waren vorgesehen.
Bei den Nachrüstungen werden oftmals die Dauerplus und Ladeplus-Leitungen zur Batterie eingespart und dann als Zubehör verkauft. Daher zuerst mal prüfen: Liegt +12V auf T12b Pin 11+12? Und zusätzlich bei Zündung an ebenfalls auf T12b Pin 2+9?
Unbedingt auch letzteres prüfen. Obwohl das eigentlich Dauerplus sein soll, so hat VW das in einigen Fahrzeuggenerationen einfach mit Zündung (oder zeitversetzt) abgeschaltet. (Startfähigkeit des Zugfahrzeugs / Vermeidung von Einträgen in der Pannenstatistik waren wichtiger als korrekte Funktion.).
Wenn alle vier Spannungen korrekt anliegen, würde ich mal ins STG schauen. Sofern ich mich recht erinnere, ist das AHK STG ein einfaches Plastikgehäuse, dass nur geklammert ist. Ich würde es mal aufmachen und mal schauen, was da am Pin T16h (geht zum Pin 9 der Dose) dran hängt. Wenn ich mich recht erinnere, war der bei meinem Westfalia STG einfach stumpf mit einem Pin des T12b durchverbunden. Da musst also nur Spannung am richtigen Pin des T12b anliegen. Das STG hatte da keine Eingriffsmöglichkeit.
Auf der anderen Seite: Wenn das STG da ohnehin nicht eingreifen kann, dann ist auch die Frage, welchen Vorteil es bieten würde, dass über das STG zu leiten.